Wachstumsmodelle
Eine Fahrradverleihstation gewinnt jeden Monat 20 Kundinnen und Kunden. Eine andere wächst jeden Monat um 8 %. Nach wenigen Monaten erzählen beide Regeln ganz verschiedene Geschichten.
Linear: gleicher Zuwachs
Beim linearen Modell kommt pro Schritt derselbe Betrag hinzu:
neuer Wert = alter Wert + ZuwachsSteht der Startwert in B2 und der feste Zuwachs in $F$1, lautet der nächste Wert in B3: =B2+$F$1.
Exponentiell: gleicher Faktor
Bei prozentualem Wachstum wird in jedem Schritt mit demselben Wachstumsfaktor multipliziert:
Wachstumsfaktor = 1 + Wachstumsrate
neuer Wert = alter Wert * WachstumsfaktorBei 8 % Wachstum ist der Faktor 1,08. Mit der Rate in $F$2 kann in C3 stehen: =C2*(1+$F$2).
Starte beide Modelle bei 100. Berechne 24 Monate mit 20 Personen Zuwachs beziehungsweise 8 % Wachstum. Sage voraus, welches Modell zunächst und welches später größer ist. Erstelle ein gemeinsames Liniendiagramm.
Linear bedeutet gleicher absoluter Zuwachs. Exponentiell bedeutet gleicher prozentualer Zuwachs beziehungsweise gleicher Faktor. Das Diagramm allein genügt nicht: Prüfe immer auch die Modellregel.
Quadratisch: veränderlicher Zuwachs
Eine einfache quadratische Folge entsteht, wenn die Zuwächse selbst gleichmäßig wachsen, etwa +3, +5, +7, +9 …. Die zweiten Differenzen sind dann konstant.
Erzeuge die Werte 1, 4, 9, 16, 25 …, indem du die jeweils nächste ungerade Zahl addierst. Vergleiche Tabelle und Diagramm mit den beiden anderen Modellen. Woran erkennst du quadratisches Wachstum in den Differenzen?