Beispiel: Termbaum
Etwas vereinfacht ist ein „Term“ in der Mathematik ein Ausdruck, der eine Rechnung darstellt. Man kann Rechenoperationen wie „plus“, „minus“, „mal“, „geteilt“, „hoch“ usw. verwenden. Einfache Terme sind also zum Beispiel „5 + 8“ oder „3 / 4".
Man kann Terme kombinieren, indem man Klammern verwendet, zum Beispiel: (5 + 8) · (3 / 4). Um die Schreibweise zu vereinfachen, hat sich eingebürgert, in bestimmten Fällen die Klammern wegzulassen und zwei zusätzliche Regeln zur Reihenfolge der Auswertung festgelegt:
- Punkt-vor-Strich-Rechnung: Die folgenden Terme sind identisch: 9 · 2 + 8 · 3 und (9 · 2) + (8 · 3)
- Von links nach rechts auswerten (bei nur Punkt- oder nur Strich-Rechnung): Die folgenden Terme sind identisch: 8 – 7 + 4 und (8 – 7) + 4
Um einen Term auszuwerten, muss man zuerst die inneren Klammern berechnen. Die Ergebnisse der inneren Klammern werden dann für die äußeren Rechnungen benutzt. Im Beispiel (5 + 8) · (3 / 4) würde man also zuerst 5 + 8 und 3 / 4 ausrechnen, und die Ergebnisse dann multiplizieren.
Da Terme durch ihre Klammerung hierarchisch geordnet sind, kann man sie auch durch einen Binärbaum darstellen, wie zum Beispiel den Term
flowchart TD
A(("-")) --> B(("+"))
A --> C(("/"))
B --> D((2))
B --> E(("*"))
E --> F((3))
E --> G((6))
C --> H((4))
C --> I((1))
Wegen der Punkt-vor-Strich-Rechnung muss man zuerst die Multiplikation 3 · 6 und die Division 4 / 1 berechnen, und verwendet die Ergebnisse dann für die Addition bzw. Subtraktion.
Aufgabe
Ohne Rechner.
a) Stelle den Term als Termbaum dar. Denk an Punkt vor Strich und daran, dass bei gleichrangigen Operatoren von links nach rechts ausgewertet wird.
b) Stelle den Term zum folgenden Termbaum auf und berechne seinen Wert.
flowchart TD
A(("/")) --> B(("-"))
A --> C(("+"))
B --> D(("*"))
D --> J((5))
D --> K((4))
B --> E(("+"))
E --> F((3))
E --> G((2))
C --> H((2))
C --> I((1))
Auflösung
a) Zuerst die Klammerung ergänzen: Punkt vor Strich macht daraus . Der zuletzt ausgeführte Operator steht an der Wurzel – das ist hier das letzte +.
flowchart TD
P(("+")) --> M(("-"))
P --> M2(("*"))
M --> T1(("*"))
M --> T2(("/"))
T1 --> A((5))
T1 --> B(("+"))
B --> B1((6))
B --> B2((2))
T2 --> C((7))
T2 --> D((4))
M2 --> E((2))
M2 --> F((2))
Die zweite Regel – von links nach rechts – entscheidet darüber, dass das - unter dem + hängt und nicht umgekehrt.
b) Der Term lautet .
Ausgerechnet wird er von unten nach oben: , , , und schließlich .
Zur Präsentation:
- Erläutere das Anwendungsbeispiel (Terme).
- Zeichne einen Beispiel-Termbaum.
- Erläutere, wie ein Termbaum ausgewertet (also das Ergebnis des Terms berechnet) wird.
In Anlehnung an Christian Pothmann unter CC BY-NC-SA 4.0