Vom Halbaddierer zum Addierwerk
Jetzt kommen beide Hälften dieses Lernpfads zusammen: das Rechnen im Binärsystem und die Logikgatter. Am Ende dieser Lektion steht eine Schaltung, die zwei Zahlen addiert – nur aus UND, ODER und XOR.
Zwei Bits addieren
Schau dir noch einmal die Additionstabelle aus Kapitel 2 an. Für zwei Bits A und B gibt es ein Ergebnisbit S (Summe) und einen Übertrag C (von englisch carry):
| A | B | C | S |
|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 0 | 1 |
| 1 | 0 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 0 |
Vergleiche die Spalten S und C mit den Wahrheitstabellen der Gatter, die du kennst. Lege dann für beide Gatter fest, welche Art sie haben müssen, und prüfe.
Tipp
Die Spalte S kennst du vom Treppenhauslicht. Die Spalte C ist nur in der letzten Zeile 1.
Ein Halbaddierer addiert zwei Bits A und B:
- Summe S = A XOR B
- Übertrag C = A UND B
Er heißt halb, weil er einen Übertrag von der Stelle rechts davon nicht berücksichtigen kann.
Drei Bits addieren: der Volladdierer
Bei der schriftlichen Addition kommt ab der zweiten Stelle von rechts immer ein Übertrag von rechts dazu. Dann müssen drei Bits addiert werden: A, B und der eingehende Übertrag Cin.
Ein Volladdierer besteht aus zwei Halbaddierern und einem ODER-Gatter:
- Sage voraus: Was müssen S und Cout bei A = 1, B = 1, Cin = 1 sein? Denk an die schriftliche Addition: 1 + 1 + 1 = ?
- Fülle die Wahrheitstabelle aus. Stelle dazu die Schalter ein und lies die Lampen ab.
- Prüfe in jeder Zeile: Ist Cout S, als Binärzahl gelesen, die Anzahl der Einsen in A, B und Cin?
Tipp zu 1
1 + 1 + 1 = 3 = 11₍₂₎. Welche Stelle ist S, welche ist Cout?
Volladdierer hintereinander: das Addierwerk
Für eine Zahl mit mehreren Stellen setzt man für jede Stelle einen Addierer ein. Der Übertrag einer Stelle wird zum Cin der nächsten Stelle links – genau wie bei der schriftlichen Addition. Für die rechte Stelle genügt ein Halbaddierer.
Die Schaltung unten addiert zwei 2-Bit-Zahlen A1 A0 und B1 B0. Das Ergebnis ist C2 S1 S0.
- Stelle 3 + 1 ein, also A1 A0 = 11 und B1 B0 = 01. Lies das Ergebnis C2 S1 S0 ab und rechne es ins Dezimalsystem um.
- Rechne dieselbe Aufgabe schriftlich im Raster unten. Vergleiche: Welches Gatter in der Schaltung erzeugt den Übertrag, den du über die zweite Stelle schreibst?
- Wie viele Volladdierer bräuchte man, um zwei 8-Bit-Zahlen zu addieren? Begründe.
Tipp zu 2
Der Übertrag aus der rechten Stelle heißt in der Schaltung C1. Welches Gatter hat den Ausgang C1?
Ein Addierwerk für n-Bit-Zahlen besteht aus n hintereinandergeschalteten Addierern. Der Übertrag jeder Stelle wird an die nächste Stelle weitergereicht. Der Übertrag aus der höchsten Stelle zeigt einen Überlauf an.
Das Addierwerk ist das Herz des Rechenwerks im Prozessor. Mit ihm lässt sich auch subtrahieren und – durch Verschieben und Addieren – multiplizieren.
Ein moderner Prozessor addiert 64-Bit-Zahlen. Bei einem Addierwerk wie diesem muss der Übertrag nacheinander durch alle 64 Stellen „durchklappern“, bevor das Ergebnis feststeht. Ingenieure haben deshalb Schaltungen erfunden, die die Überträge vorausberechnen (englisch carry lookahead). Was meinst du: Kostet das mehr oder weniger Gatter?